¿Es suficiente la terapia farmacológica para el tratamiento de los trastornos mentales?
Bueno, quizá muchas personas creen que ante problemas de verdad, hay que dejarse de "tonterías" de terapias psicológicas, y cortar por lo sano. Al fin y al cabo, si hay un desequilibrio bioquímico, qué mejor manera de combatirlo que actuar directamente sobre él?
Pero la realidad es más compleja...
Aparte de los conocidos efectos secundarios, y de la tolerancia (requerir cada vez dosis mayores para que se produzca el mismo efecto) y dependencia que pueden generar, la medicación tiene una gran pega: no enseña nada.
Un trastorno mental es algo más que un desequilibrio neuroquímico. Decir esto es quedarse en una definición descriptiva muy reduccionista. La interacción con el entorno, los hábitos, patrones de comportamiento, etc, juegna un papel clave en la mayoría de las psicopatologías y, por supuesto, también tienen su efecto a nivel neuroquímico. Y para pasar de unos patrones de interacción disfuncionales a otros más adaptativos, se necesita aprender (o re-aprender) estos últimos.
Pongamos un ejemplo, con un caso de depresión:
Imaginemos a una persona que padece esta patología. Pensemos en que esa persona antes era "normal", pero en un momento determinado sufre algún evento aversivo importante, del tipo de la muerte de un familiar muy cercano. Esa persona, a partir de ese momento, le invade una tristeza muy potente, que traspasa temporalmente el duelo habitual que vive la mayoría de la gente ante un evento de estas características. Deja de relacionarse con los demás como hasta entonces, abandona a sus amigos, pareja, trabajo, etc. Los familiares hacen lo que pueden, la animan, pero no consiguen demasiado. En definitiva, entra en una dinámica de hábitos negativos que no hacen sino hundirla cada vez más.
En este caso, la prescripción de antidepresivos, ayudará sin duda al paciente. Le ayudará en el sentido de supondrá un primer impulso para poder empezar a reaprender hábitos positivos. Pero en ningún caso todo queda ahí.
La persona debería aprender a adaptarse a una nueva vida sin el familiar en cuestión. Y esto no se lo enseña la medicación (aunque suponga ese primer impulso). Para adaptarse hay que emprender un papel activo -y no meramente pasivo, de enfermo que espera ser curado por los medicamentos- de reaprendizaje de conductas no deprimidas, adaptándose al nuevo medio.
Esto supone una limitación muy clara. Y uno de los motivos por los que la terapia farmacológica debe tener casi siempre el apoyo de una terapia psicológica de eficacia comprobada (en el caso concreto de la depresión, ambos tipos de terapia andan en niveles parecidos de eficacia) que ayude a la adquisición de nuevos comportamientos y cogniciones.
Es un tema amplio del que se puede hablar largo y tendido. Tan solo he querido señalar, brevemente, un aspecto que muchas veces se pasa por alto.
viernes, 6 de mayo de 2011
Breve crítica a la terapia farmacológica en los trastornos mentales
viernes, 28 de noviembre de 2008
Un punto azul pálido
Dice Carl Sagan:
Mira ese punto. Eso es aquí. Eso es casa. Eso es nosotros. En él se encuentra todo aquel que amas, todo aquel que conoces, todo aquel del que has oído hablar, cada ser humano que existió, vivió sus vidas. La suma de nuestra alegría y sufrimiento, miles de confiadas religiones, ideologías y doctrinas económicas, cada cazador y recolector, cada héroe y cobarde, cada creador y destructor de la civilización, cada rey y cada campesino, cada joven pareja enamorada, cada madre y padre, cada esperanzado niño, inventor y explorador, cada maestro de moral, cada político corrupto, cada “superestrella”, cada “líder supremo”, cada santo y pecador en la historia de nuestra especie vivió ahí – en una mota de polvo suspendida en un rayo de luz del sol.
La Tierra es un muy pequeño escenario en una vasta arena cósmica. Piensa en los ríos de sangre vertida por todos esos generales y emperadores, para que, en gloria y triunfo, pudieran convertirse en amos momentáneos de una fracción de un punto.
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Piensa en las interminables crueldades visitadas por los habitantes de una esquina de ese pixel para los apenas distinguibles habitantes de alguna otra esquina; lo frecuente de sus incomprensiones, lo ávidos de matarse unos a otros, lo ferviente de su odio. Nuestras posturas, nuestra imaginada auto-importancia, la ilusión de que tenemos una posición privilegiada en el Universo, son desafiadas por este punto de luz pálida.
Nuestro planeta es una mota solitaria de luz en la gran envolvente oscuridad cósmica. En nuestra oscuridad, en toda esta vastedad, no hay ni un indicio de que la ayuda llegará desde algún otro lugar para salvarnos de nosotros mismos.
La Tierra es el único mundo conocido hasta ahora que alberga vida. No hay ningún otro lugar, al menos en el futuro próximo, al cual nuestra especie pudiera migrar. Visitar, sí. Colonizar, aún no. Nos guste o no, en este momento la Tierra es donde tenemos que quedarnos. Se ha dicho que la astronomía es una experiencia de humildad y construcción de carácter. Quizá no hay mejor demostración de la tontería de los prejuicios humanos que esta imagen distante de nuestro minúsculo mundo. Para mí, subraya nuestra responsabilidad de tratarnos los unos a los otros más amablemente, y de preservar el pálido punto azul, el único hogar que jamás hemos conocido.
domingo, 23 de noviembre de 2008
Geoquímica recreativa
Un fragmento de este libro del que fue llamado "el poeta de las piedras", Aleksandr Fersman
Los geoquímicos y mineralogistas deben cambiar radicalmente sus hábitos. En efecto, cada año hay que denominar más de 25 minerales nuevos. Y ¿acaso es admisible que combinaciones como la laurita fuesen denominadas con el nombre de la novia del químico que la descubrió, Laura; que toda una serie de minerales recibiesen su nombre de sentimientos de fidelidad, en honor de diversos príncipes y condes que no tuvieron ninguna relación con los minerales, como la uvarovita?
Por último, algunas denominaciones son tan disparatadas que nuestra lengua las pronuncia con dificultad; por ejemplo, "ampangabeita", llamado así por el lugar en que fue hallado, en Madagascar. La nominación de los minerales es una página interesantísima de la historia de la Mineralogía y la Química. Hasta ahora se desconoce por completo la procedencia de una serie de nombres de minerales y muchos de ellos tienen sus raíces en la antigua India, Egipto o Persia. Persia nos obsequió con la turquesa y la esmeralda (smaragd); la Grecia antigua, con el topacio y el granate. La India dio el rubí, el zafiro y la turmalina.
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Una gran cantidad de minerales fueron denominados por el lugar de su hallazgo. Así, para nosotros, los soviéticos, son bien conocidos y comprensibles los nombres "ilmenita" (montes Ilmen, en los Urales meridionales), "baikalita" (lago Baikal), "murmanita" (región de Murmansk). Pero el nombre más interesante para nosotros está ligado con Moscú, es la moscovita o muscovita, la famosa mica potásica que tan importante papel desempeña en la industria eléctrica. Muchísimos nombres se dieron en honor de conocidos investigadores, notables químicos y mineralogistas. Recordemos la scheelita, así llamada en memoria del célebre químico sueco Scheele: la goethita, en honor del poeta y mineralogista Goethe y las mendeleevita y vernadskita bien conocidas para nosotros.
Hay que reconocer como acertados también los nombres dados a minerales con arreglo a sus colores, aunque en estos casos con frecuencia haya que conocer el latín o el griego para comprenderlos. Así son, por ejemplo, el aguamarina (color de agua de mar), auripigmento (coloración de oro), leucita (de la palabra griega "leikos", blanco), criolita (hielo, en griego), celestina (del latín, "cielo").
Muchas denominaciones provienen de las propiedades físicas y químicas de los minerales. Por ejemplo, los minerales denominados "brillantes", se llaman así por su brillo parecido al de la plata; las piritas, por su analogía con el cobre y el bronce; los espatos, por la propiedad que poseen de hendirse a lo largo de planos orientados en direcciones determinadas (crucero); las blendas, minerales que contienen metal, cosa difícil de adivinar por su aspecto exterior engañoso.
El diamante recibió su denominación de la palabra griega "ádamas", esto es "insuperable", "invencible", "inexpugnable". Finalmente, hay que reconocer que muchos minerales recibieron nombres apropiados, según los elementos químicos que predominan en su composición. Así, por ejemplo, la fosforita, calcita, wolframita, molibdenita, etc.
Pero existe una serie de nombres que suscitan gran interés. Con algunos de ellos están relacionadas leyendas enteras; el sentido de otros se oculta en lo profundo de los laboratorios de los alquimistas. De tal modo, el asbesto recibió su nombre de la palabra griega "incombustible". La nefrita debe su denominación al error medieval que consideraba que sirve para curar los riñones. La fenacita, "falsa", se llama así por que su bello color rojo-vinoso desaparece, en el sol, después de varias horas.
La apatita o "engañosa" se llama así por ser difícil de distinguir de otros minerales; y, por último, la amatista lleva su denominación aún desde la Edad Media, cuando se le adjudicaba la misteriosa cualidad de servir de defensa contra la embriaguez. Se ve por nuestra breve descripción de qué manera tan complicada se fueron estableciendo las denominaciones de los minerales.
¿Acaso no es posible poner orden en este asunto? Acaso no puede constituirse una comisión internacional que confirme la denominación de los nuevos minerales, atendiendo a que su significado corresponda a las propiedades del mineral, que sean fáciles de recordar, que los nombres mismos formen un cierto sistema y verifiquen la clasificación de cientos y miles de especies minerales? Confiamos que en el florecimiento futuro de las ciencias químicas y geoquímicas se encontrará sitio para nuestra modesta proposición: reflexionar cómo hacer para no martirizar a los estudiantes con prolongadas, difíciles de recordar e incomprensibles denominaciones y dar nombres estrechamente ligados a las propiedades típicas de cada piedra, planta o animal, que penetren bien en la mente de cualquiera.
domingo, 19 de octubre de 2008
martes, 6 de noviembre de 2007
Genios Genuinos
Sir Ernest Rutherford, presidente de la Sociedad Real Británica y Premio Nobel de Química en 1908, contaba la siguiente anécdota:Hace algún tiempo, recibí la llamada de un colega. Estaba a punto de poner un cero a un estudiante por la respuesta que había dado en un problema de física, pese a que éste afirmaba con rotundidad que su respuesta era absolutamente acertada.
Profesores y estudiantes acordaron pedir arbitraje de alguien imparcial y fui elegido yo. Leo la pregunta del examen y decía: "Demuestre cómo es posible determinar la altura de un edificio con la ayuda de un barómetro".
El estudiante había respondido: "Lleva el barómetro a la azotea del edificio y átale una cuerda muy larga. Descuélgalo hasta la base del edificio, marca y mide. La longitud de la cuerda es igual a la longitud del edificio".
Realmente, el estudiante había planteado un serio problema con la resolución del ejercicio, porque había respondido a la pregunta correcta y completamente. Por otro lado, si se le concedía la máxima puntuación, podría alterar el promedio de sus de estudios, obtener una nota más alta y así certificar su alto nivel en física; pero la respuesta no confirmaba que el estudiante tuviera ese nivel.
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Sugerí que se le diera al alumno otra oportunidad. Le concedí seis minutos para que me respondiera la misma pregunta pero esta vez con la advertencia de que en la respuesta debía demostrar sus conocimientos de física. Habían pasado cinco minutos y el estudiante no había escrito nada. Le pregunté si deseaba marcharse, pero me contesto que tenia muchas respuestas al problema. Su dificultad era elegir la mejor de todas. Me excuse por interrumpirle y le rogué que continuara.
En el minuto que le quedaba escribió la siguiente respuesta: "Coge el barometro y déjalo caer al suelo desde la azotea del edificio, calcula el tiempo de caída con un cronómetro. Después se aplica la formula altura = 0,5 por g por T al cuadrado. Y así obtenemos la altura del edificio". En este punto le pregunté a mi colega si el estudiante se podía retirar. Le dió la nota más alta.
Tras abandonar el despacho, me reencontré con el estudiante y le pedí que me contara sus otras respuestas a la pregunta. Bueno, respondió, hay muchas maneras, por ejemplo, coges el barómetro en un día soleado y mides la altura del barómetro y la longitud de su sombra. Si medimos a continuación la longitud de la sombra del edificio y aplicamos una simple proporción, obtendremos también la altura del edificio.
Perfecto, le dije, ¿y de otra manera? Sí, contestó; éste es un procedimiento muy básico para medir un edificio, pero también sirve. En este método, coges el barómetro y te sitúas en las escaleras del edificio en la planta baja. Según subes las escaleras, vas marcando en la pared la altura del barómetro y cuentas el número de marcas hasta la azotea. Multiplicas al final la altura del barómetro por el número de marcas que has hecho y ya tienes la altura. Éste es un método muy directo. Por supuesto, si lo que quieres es un procedimiento más sofisticado, puedes atar el barómetro a una cuerda y moverlo como si fuera un péndulo. Dado que cuando el barómetro está a la altura de la azotea la velocidad es cero y si tenemos en cuenta la medida de la aceleración de la gravedad, al descender el barómetro en trayectoria circular al pasar por la perpendicular del edificio, de la diferencia de estos valores, y aplicando una sencilla formula trigonométrica, podríamos calcular, sin duda, la altura del edificio.
En este mismo estilo de sistema, atas el barómetro a una cuerda y lo descuelgas desde la azotea a la calle. Usándolo como un péndulo puedes calcular la altura midiendo su período de precesión. En fin, concluyó, existen otras muchas maneras. Probablemente, siguió, la mejor sea coger el barómetro y golpear con él la puerta de la casa del conserje. Cuando abra, decirle: señor conserje, aquí tengo un bonito barómetro. Si usted me dice la altura de este edificio, se lo regalo.
En este momento de la conversación, le pregunté si no conocía la respuesta convencional al problema (la diferencia de presión marcada por un barómetro en dos lugares diferentes nos proporciona la diferencia de altura entre ambos lugares). Evidentemente, dijo que la conocía, pero que durante sus estudios sus profesores habían intentado enseñarle a pensar. El estudiante se llamaba Niels Bohr, físico danés, premio Nobel de Física en 1922, más conocido por ser el primero en proponer el modelo de átomo con protones y neutrones y los electrones que lo rodeaban. Fue fundamentalmente un innovador de la teoría cuántica. Al margen del personaje, lo divertido y curioso de la anécdota, lo esencial de esta historia, es que LE HABÍAN ENSEÑADO A PENSAR.
viernes, 2 de noviembre de 2007
Nicolás Bourbaki
Nicolás Bourbaki es un seudónimo colectivo utilizado por una corporación informal de matemáticos que en 1939 empezó a escribir un tratado muy extenso de matemáticas, partiendo de los principios básicos más generales. El nombre lo tomaron de una novatada: un falso teorema que un estudiante de la ENS, con barba postiza y acento extraño, presentó después de una larga plática sin sentido a los estudiantes de primer año. El nombre pertenecía en realidad a un general de la guerra franco-prusiana. La esposa de Weil decidió bautizarlo Nicolás. Así nació Nicolás Bourbaki, matemático poldavo. Ésa es la historia del nombre, las demás historias, puestas en circulación por los propios miembros del grupo, se han demostrado falsas.
Hennri Cartan y André Weil enseñaban cálculo en la Universidad de Strasburgo y coincidían en que el libro de texto era inadecuado, por lo que en 1934 se reunieron con sus amigos de la École Normale Supérieure para escribir un tratado para el curso en el que el tema se presentara mejor. Así comenzaron a reunirse con regularidad en Le Capoulade, un café parisino en el Boulevard Saint-Michel del Barrio Latino.
Pronto se dieron cuenta de que era necesario cambiar la forma de presentar todas las matemáticas de principio a fin.
Se reunieron con este propósito en julio de 1935 en Besse-en-Chandesse: Henri Cartan, A. Weil, Jean Delsarte, Jean Dieudonné y Claude Chevalley.
Bourbaki sentía que los matemáticos viejos se apegaban a las prácticas antiguas ignorando las nuevas, por eso una de las condiciones para pertenecer al grupo era el retiro obligatorio a los cincuenta años.
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Querían escribir un tratado que fuera una herramienta esencial para todos los matemáticos, lógicamente ordenado y construido a partir de una base. Eligieron como base la teoría de conjuntos. Dividieron el material en 6 libros:
I Teoría de Conjuntos
II Álgebra
III Topología
IV Funciones de una variable real
V Espacios vectoriales topológicos
VI Integración
La preocupación profunda a la que responde este proyecto es la nacida de una pregunta arraigada en Bourbaki: ¿La Matemática o las Matemáticas?
«…no pretenderemos examinar las relaciones de las matemáticas con lo real o con las grandes categorías del pensamiento; es en el seno de la matemática en donde pensamos quedarnos para buscar, analizando sus propios vericuetos, una respuesta a la pregunta que nos hemos planteado. »
Una respuesta que no necesitaba buscar pues Bourbaki creía ya en la unidad de las matemáticas, de ahí que siempre busque la mayor generalidad posible, cortando todo lo que pareciera secundario.
La tarea que el grupo emprende en 1935 es buscar la esencia de las matemáticas.
En 1938 se elige el título de su obra: “Éléments de Mathématique”, en clara alusión a los Elementos de Euclides, con visión enciclopédica, y eliminaron la s de Mathématiques para reafirmar su fuerte creencia en la unidad de esta ciencia.
Las reuniones se convirtieron en tres congresos al año: dos de una semana y uno de dos semanas; cada día constaba de tres reuniones, en total siete horas. En ellas se leían los borradores en voz alta y cualquiera podía interrumpir en cualquier momento, preguntar o criticar implacablemente y, a menudo, terminaban discutiendo a gritos.
Las dos reglas básicas del esquema de trabajo del grupo eran: nada se aceptaría si no era por unanimidad, teniendo cada uno derecho de veto; y todos debían poder escribir un capítulo en un campo que no fuera de su especialidad.
«El carácter anárquico de las discusiones ha sido mantenido a lo largo de la existencia del grupo … Una buena organización, sin dudas, habría requerido que a cada uno se le asignara un tema o capítulo, pero esta idea nunca se nos ocurrió» —dijo Weil
Un capítulo pasaba por seis o más borradores, lo que explica la lentitud en la publicación. Hasta 1939 no aparece el primer fascículo de Resultados en Teoría de Conjuntos, después de 10 borradores; y en los años cuarenta aparecen Topología y tres volúmenes de Álgebra. Que aún así hayan seguido saliendo los capítulos se explica por el fuerte compromiso de los miembros y una fuerte creencia en que valía la pena la empresa sin importar lo lejos que pudiera estar la meta. Cualquier cosa que se aceptara era incorporada sin créditos para el autor y Nicolás Bourbaki se convierte así en la firma del anonimato aceptado. Además de los fundadores, se incorporaron nuevos miembros con el transcurso del tiempo: Bourbaki invitaba a una reunión a un colega o estudiante, si lo entendía todo, participaba activamente, mostraba intereses amplios y se adaptaba al estilo de trabajo del grupo, acababa siendo un miembro más.
En busca de la unidad y la coherencia, los libros debían estar ordenados linealmente, es decir, las referencias se hacían únicamente a lo ya aparecido en libros anteriores y no había referencias externas salvo para las notas históricas. Bourbaki presentó el primer tratamiento sistemático de algunos temas (por ejemplo, topología general y álgebra multilineal) que no estaban a disposición del público en ninguna otra parte en forma de libro. Los principales rasgos del tratamiento de Bourbaki son una actitud radical acerca del orden correcto para hacerlo todo, una insistencia dogmática en una terminología particular, una organización clara y económica de las ideas y una inclinación a decirlo todo que no deja nada a la imaginación.
Una muestra típica de la minuciosidad de Bourbaki es su definición del número “1”. Dedican casi doscientas páginas a la preparación de la definición misma.
Cuando se terminaron de escribir los seis libros, la pregunta natural era ¿ Y ahora, qué? Ya en Septiembre de 1940 Dieudonné había delineado un plan de 27 libros que abarcaban casi toda la matemática, para continuar los seis libros del tratado que representaban sólo las bases de lo esencial. Pero de pronto las matemáticas crecieron tanto que debían tomar en consideración otros libros escritos, lo que implicaba renunciar al carácter autónomo del proyecto.
Surgieron entonces dos opciones: seguir construyendo las bases de forma autónoma en la tradición de Bourbaki; o abordar los temas que sintieran que pudieran manejar, aunque las bases no estuvieran establecidas de manera óptima. La solución ideal era ir hacia ambos lados pero ello excedía sus capacidades. Había que elegir. Eligieron lo segundo y así aparecieron tres volúmenes más: Álgebra conmutativa, Grupos y álgebras de Lie, y Teoría espectral(publicado en 1983)
Hasta hoy se han publicado 14 volúmenes de esa obra (que por supuesto está incompleta). El impacto en las matemáticas fue el estilo de exposición y la elección de notación; a él se deben, por ejemplo, el símbolo de conjunto vacío y la flecha de implicación.
El grupo Bourbaki sigue funcionando, aunque no se haya firmado nada con ese nombre desde 1990, y, por supuesto, se ignora quien se esconde ahora bajo ese seudónimo.
jueves, 25 de octubre de 2007
Matemáticas y dignidad
Fundado como empresa no pública, el Institut des Hautes Études Scientifiques se inauguró en París en 1958. Uno de los primeros profesores del Instituto fue un joven profesor e investigador de matemáticas, muy prestigioso al haber introducido un año antes la teoría K y enunciado y demostrado el teorema de Riemann-Roch-Grothendieck: Alexander Grothendieck. Su padre había participado en la revolución bolchevique y había sido brigadista en la guerra de España. Simpatizaba con los anarquistas. Sus Elementos de Geometría Algebraica y sus Seminarios de Geometría Algebraica realizan una síntesis con la Aritmética y la Topología en torno a los conceptos de esquema y topos que supone la más vasta labor de fundamentos jamás realizada en matemáticas. Sigue los pasos de André Weil, hermano de la filósofa Simone Weil, demostrando en gran parte sus conjeturas.
El Institut des Hautes Études se convirtió, con Grothendiek, en la sede del proyecto Bourbaki.
El despacho de Grothendieck en el Instituto no tenía más adornos que un óleo que representaba a su padre pintado por un compañero suyo en uno de los campos donde estuvo internado antes de ser trasladado a Auschwitz donde murió en 1942.
En 1966, en el Congreso Internacional de Matemáticas de Moscú, al que no acude en protesta contra la URSS, recibe la medalla Fields y desentraña la genial teoría de motivos, que permanece sin demostrar en gran parte.En esos mismos años, Grothendiek impartió un breve curso de geometría algebraica abstracta en la jungla de Vietnam del Norte. Allí había sido evacuada la Universidad de Hanoi tras los bombardeos norteamericanos. Pero en 1970, a los 42 años, Grothendiek se marchó del Instituto. Había descubierto que una parte de la financiación privada del Instituto provenía de fuentes militares, del Ministerio de Defensa. Le bastó con eso. Se negaba a ser un mandarín matemático al servicio de los poderes establecidos.
En los dos años siguientes habló más de ecología y paz que de matemáticas. En 1988 rechaza el Premio Crafford, de la Real Academia Sueca de las Ciencias con estas palabras: «dado el declive en la ética científica, participar en el juego de los premios significa aprobar un espíritu que me parece insano y mi pensión es más que suficiente para atender mis necesidades materiales y las de los que de mí dependen», a pesar de la cuantiosa dotación económica del mismo y de que tanto él como su hija vivían muy modestamente. En 1990 decide desaparecer.
martes, 23 de octubre de 2007
Escher o el sueño matemático de otros mundos
Maurits Cornelis Escher, nacido el 17 de junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda); fallecido en Baarn (Holanda) el 27 de Marzo de 1972.Comienza su viaje por Europa, en 1922 llega al sur Italia (Ravelo) donde conoce a Jetta Umiker con quien se casaría en 1924. Se traslada a Roma hasta la consolidación de Mussolini. Decide trasladarse a Suiza en torno al año 1935 debido a las presiones políticas y el enrarecimiento del ambiente.Durante su estancia alpina hace varios viajes al sur de Italia y España, Cartagena, Granada donde conoce la Alhambra y Córdoba con su mezquita, dos de sus obras más inspiratorias. Decide en 1937 dejar Suiza, demasiado fría y nevada, para llegar a Bélgica. Ante la devastación de la guerra viaja a Holanda en 1941 para establecerse allí hasta su muerte en 1972. Años estos últimos de una frenética producción.
1.Trees, (1920)
2.Eight Heads , 1922
4.Tower of Babel, 1928
5.Street in Scanno, Abruzzi, 1930
6.Castrovalva, 1930
7.The Bridge, 1930
8.Atrani, Coast of Amalfi, 1931
9.Ravello and the Coast of Amalfi, 1931
11.Covered Alley in Atrani, Coast of Amalfi, 1931
12.Still Life with Spherical Mirror, 1934
13.Hand with Reflecting Sphere, 1935
14. Inside St. Peter's, 1935
15.Portrait of G.A. Escher, 1935
16.Still Life and Street, 1937
17.Day and Night, 1938
18.Cycle, 1938
19.Sky and Water I, 1938
20.Verbum (Earth, Sky and Water), 1942
21.Reptiles, 1943
22.Ant, 1943
23.Encounter, 1944
24.Three Spheres I, 1945
25.Magic Mirror, 1946
26.Three Spheres II, 1946
27.Another World, 1947
28.Crystal, 1947
29.Drawing Hands, 1948
30.Dewdrop, 1948
31.Stars, 1948
32.Double Planetoid, 1949
33.Order and Chaos (Contrast), 1950
34.Rippled Surface, 1950
35.Curl-up, 1951
36.House of stairs, 1951
37.Puddle, 1952
38.Gravitation, 1952
39.Relativity, 1953
40.Tetrahedral Planetoid, 1954
41.Convex and Concave, 1955
42.Three Worlds, 1955
43.Belvedere, 1958
44.Sphere Spirals, 1958
45.Ascending and Descending, 1960
46.Waterfall, 1961
47.Möbius Strip II (Red Ants), 1963
48.Snakes, 1969
El análisis de sus obras, tal y como definió Bruno Ernst, uno de sus biógrafos, permite clasificarlas básicamente en tres temas y diversas categorías:
-La estructura del espacio – incluyendo paisajes, compenetración de mundo y cuerpos matemáticos.
-La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.
-La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles
4.Escher y su relación con las matemáticas y sus problemas.
"Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas" (M.C.Escher)
A través de sus dibujos y planchas Escher abrió puentes entre el arte y la matemática. Lo que se ha denominado más tarde como el arte-matemático. Y cuanto menos parece curioso sabiendo que el artista no poseía conocimientos demasiado amplios sobre esta ciencia. Señalaré las vías de escape matemáticas del dibujante holandés.
1.Los elementos matemáticos/geométricos su obra.
Uno de los aspectos más evidentes en su obra es la utilización de poliedros, en muchas ocasiones relacionados entre si. Como ejemplo el propio dibujante dijo de su obra Stars, 1948, nº31.: "Cuerpos regulares sencillos, dobles y triples flotan como estrellas por el vacío. En el centro se encuentra una construcción compuesta por tres octoedros regulares".
Aunque no puede olvidarse como Escher nos muestra otros elementos de la matemática teórica, como es el caso de la Banda de Möbius en su obra del año 1963 Möbius Strip II (Red Ants), nº47. Donde nos enseña no solo una bella representación de este objeto matemático, si no que también nos indica mediante las hormigas una de las propiedades básicas del elemento mismo, a saber, “que es una superficie con un solo lado y un solo componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable”
Enlace a nuestra amiga “wiki” con información sobre la Banda de Möbius.
http://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_Möbius
2.El tema de la partición de la superficie o recubrimientos en el espacio.
Viendo de manera comparada su biografía y obra uno podría pensar que éste problema de la ocupación de toda la superficie del plano tocó la inquietud del artista holandés después de su visita a la Alhambra, pero el propio Escher nos saca de dudas cuando afirma que "Mucho antes de que, a raíz de visitar la Alhambra, descubriera cuán afín me es el problema de la partición de la superficie, yo había descubierto por mí mismo mi interés por él".
Pero es cierto que tomo los mosaicos de la obra arquitectónica granadina como ejemplos para sus obras, y también en ellos descubrió el placer de las simetrías. Escher insistía en muchas de sus obras por ejemplo Encounter, de 1944, nº 23 o en Sky and Water I de 1938 nº 19. Podemos observar en ellas como mediante la creación de poliedros y figuras que encajan y no se superponen Escher va creando simetrías múltiples y asimetrías de contraste como en la obra Day and Nigth, 1938, nº17. Crea juegos ópticos a través de la asimilación de los iguales/desiguales en sus llamadas teselaciones.
Puede observarse en estos recubrimientos una tendencia a la metamorfosis gradual de unos objetos a otros en algún punto común del dibujo.
3.La noción de infinito y los ciclos de repetición.
Que mejor para comenzar éste apartado que una cita del propio artista: "Nos resulta imposible imaginar que, más allá de las estrellas más lejanas que vemos en el firmamento, el espacio se acaba, que tiene un límite más allá del cual no hay nada. El término vacío todavía nos dice algo, puesto que un espacio determinado puede estar vacío, por lo menos en nuestra imaginación; pero no estamos en condiciones de imaginar algo que estuviese vacío en el sentido de que el espacio deja de existir. Por esta razón, desde que el hombre existe sobre la tierra, desde que está de pie, sentado o acostado, desde que corre, navega, anda a caballo y vuela, nos aferramos a la idea de un más allá, de un purgatorio, de un cielo y de un infierno, de una transmigración y de un nirvana, todos lugares de infinita extensión en el espacio o estados de infinita duración en el tiempo".
Entre sus obras que tienden ad infinitum podríamos destacar la antes citada cinta de Möbius, sus trabajos en espiral, sus figuras imposibles tales como House of stairs de 1951, nº36 o Realativity, 1953, nº39 o Belvedere, 1958, nº43. Obras todas ellas que despiertan en nosotros la idea de lo inacabado, de lo que no tiene fin porque no se aprecia dicho límite.
Y luego cabría destacar el tema de los ciclos de repetición o infinitos circulares. Para explicarme en términos sencillos son cadenas de elementos que encajan dentro de un círculo de desarrollo. La circunferencia en completa, cada elemento reposa en el anterior y se da al siguiente. Pareciera como el “mito del eterno retorno” o “el gato que se muerde la cola”. Dibujos exponentes de esta tendencia encontramos Drawing Hands de 1948, nº29 o Reptiles, 1943, nº21.
4.Uso de las geometrías no euclídeas y del plano hiperbólico de Poincaré.
Lo primero sería explicar grosso modo qué es eso de las geometrías no euclídeas, pues bien digamos que son geometrías en las que no se cumple el V postulado de Euclídes de que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela.
Dejó enlace “wiki” hacia Henri Poincaré y las geometrías no euclídeas para el que quiera informarse más afondo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Poincare
http://es.wikipedia.org/wiki/GeometrÃas_no_euclÃdeas 
Su obra más conocida en este sentido sería "Límite Circular IV" también conocido como “Cielo e Infierno” de 1960, en donde pueden observarse como los ángeles y demonios encajan perfectamente unos con otros y disminuyen en tamaño a medida que se alejan del centro desapareciendo en infinitas figuras que tienden a lo infinitamente pequeño. Es ésta obra un claro ejemplo de utilización del plano hiperbólico diseñado por Henri Poincaré.
5.Los problemas filosóficos que plantea Escher con su obra.
No es que el propio Escher estuviera interesado en plantear dichos problemas de índole filosófica, pero viendo sus obras uno percibe extrañas sensaciones. Me refiero a que al observar una figura imposible, un mosaico, un ciclo o un dibujo que tiende al infinito, nuestra mente sufre una fuerte contradicción.
Y no es otra que la de observar una imagen, deleitarse con ella, obnubilarse, pero no llegar nunca a percibirla en toda su totalidad. Es decir, Escher nos abre a nuevos mundos no regidos por el poder de la ciencia y la física que conocemos. Y la entrada a estos nuevos “lugares” se hace traumática para el espectador, pues no es capaz de asimilar en su mente las nuevas reglas establecidas.
Es el problema de la imposibilidad de imaginar en su totalidad estos nuevos mundos. No los asimilamos y eso nos causa una extrañeza en el corazón y el alma que nunca podremos subsanar.
Escher confronta en sus obras una realidad (la que vivimos) con otra realidad (la de su propia mente) dejando al espectador al observar su obra en un punto intermedio entre ambos lugares o visiones, punto del que no puede escapar, queda allí hipnotizado por un sin fin de formas que jamás llegará a comprender del todo, y eso es lo que le causa la necesidad de seguir y seguir mirando.
Aparte claro está del planteamiento de los antes citados problemas de la infinitud, a la cual jamás podremos llegar (imaginando) o el problema de los ciclos o “mito del eterno retorno hacia lo mismo”.
“Mis ideas están basadas en mi asombro y admiración por las leyes contenidas en el mundo que nos rodea. Quien se maravilla de algo, toma conciencia de algo maravilloso” M.C. Escher.
6.Lugares de interés
Sobre Escher y su relación con las matemáticas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Maurits_Cornelis_Escher
http://rt001472.eresmas.net/CREACION/alr_esch.htm
http://www.anfrix.com/?p=421
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/ed99-0224-02.html
Sobre Henri Poincaré y las geometrías no euclídeas:
http://es.geocities.com/gas_astronomia/big_online/universo_no_euclideo.html
